Um estudo sobre a noção de limite de progressões geométricas infinitas com alunos de ensino médio

Abstract

O principal objetivo desta pesquisa é analisar a construção da noção de limite por alunos do ensino médio, num estudo de progressões geométricas infinitas. Como suporte teórico utilizamos a Teoria das Situações Didáticas, proposta por Brousseau, ao considerarmos a relação didática entre aluno e o saber num meio previamente organizado pelo professor, e a Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida por Vergnaud, para compreendermos a atividade cognitiva dos sujeitos em situação de aprendizagem. Também fundamentamos esse estudo em pesquisas que versam sobre dificuldades e obstáculos concernentes à noção de limite, bem como ao campo algébrico em que se insere o conteúdo de progressões geométricas infinitas. Como meio de materializar a pesquisa elaboramos e aplicamos uma sequência didática, segundo os princípios da Engenharia Didática. Os sujeitos de pesquisa foram alunos voluntários do terceiro ano do ensino médio de uma escola estadual da cidade de Campo Grande-MS. A dinâmica das aplicações constituiu-se de trabalhos em grupos, cujos dados foram coletados a partir dos protocolos contendo as produções dos alunos e das transcrições de suas falas, obtidas com uso de aparelhos gravadores. Esses elementos nos possibilitaram ter acesso às produções e discussões dos alunos, para identificar esquemas mobilizados pelos mesmos durante as resoluções das tarefas. A análise dos dados evidenciou que os alunos iniciaram o processo de construção da noção de limite manifestando uma visão intuitiva diante das situações que envolvem a noção de infinito e limite. No entanto, eles passam a mobilizar ações que evidenciam a presença do infinito potencial e ao final da experimentação, foram identificados elementos indicando que os alunos se aproximaram da noção de limite atual. Ao tomarem controle das situações com o uso da noção de limite, os alunos produzem diferentes significados ao lidar com esse conceito, associando-o ao termo “barreira” ou “ser limitado”. No estudo da soma dos termos de progressões geométricas infinitas, dificuldades em álgebra e a noção de infinito mostraram-se entraves para a passagem ao limite.

ABSTRACT - The main objective of this research is to analyze the construction of the limit notion by high school students in a study of infinite geometrics progressions. As theoretical support for this study we used The Theory of Didactic Situations, proposed by Brousseau, when considering the relationship between students and the knowledge process through a previously organized environment by the teacher and the Conceptual Fields Theory, developed by Vergnaud, to understand the cognitive activity of our subjects in the learning situation . We also fundament this research in studies that deal with difficulties and obstacles concerning the notion of limit, as well as the algebraic field in which the contents of infinite geometric progression are insert. As a means of materializing the research we developed and implemented an instructional sequence, according to the principles of Didactic Engineering. Our research subjects were volunteers students of the third year of a state high school in the city of Campo Grande-MS. The applications dynamics consisted of work group, and data were collected from the protocols containing the productions of the students and transcripts of their speeches, obtained with the use of a recording device. These elements enabled us to have access to student productions and discussions to identify schemes mobilized by them for the resolutions of the tasks. Data analysis showed that the students began the process of construction of the limit notion, expressing an intuitive view when faced with situations involving the notion of infinity and limit. However, they star to mobilize actions that demonstrate the presence of the infinite potential end at the end of the trial, elements indicating that students approached the current notion of limit have been identified. By taking control of situations with the use of the limit notion, students produce different meanings to deal with this concept, associating it with terms "barrier" or "being limited." In the study for the sum of the terms of infinite geometric progressions, the difficulties in algebra and the notion of the infinite proved to be obstacles to the passage to the limit.