Produção de conjecturas e provas de propriedades de ângulos de polígonos : um estudo com alunos do oitavo ano do ensino fundamental

Abstract

Esta pesquisa teve como objetivo analisar a produção de conjecturas e provas de propriedades, envolvendo ângulos de polígonos, de alunos do 8° ano do ensino fundamental. Nesse sentido, o trabalho visa observar argumentos utilizados pelos alunos para validarem as afirmações realizadas, identificar, analisar e classificar estratégias, bem como dificuldades e superações por eles apresentadas. Elaboramos uma sequência didática na qual procuramos privilegiar aspectos relativos à validação de propriedades geométricas, de modo mais específico, de propriedades de ângulos de polígonos. A sequência é composta por atividades que envolvem principalmente as noções de ângulos suplementares, ângulos de uma volta, ângulos opostos pelo vértice, retas paralelas interceptadas por uma transversal, soma dos ângulos internos de triângulos, quadriláteros e outros polígonos convexos, bem como da soma dos ângulos externos de polígonos. Tanto para a elaboração das atividades quanto para análise, tomamos como base a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau, de modo que as principais noções por nós consideradas foram à devolução e as situações didáticas. Utilizamos também a elaboração de conjecturas na perspectiva de Ponte e o modelo de provas estabelecido por Balacheff, que apresenta quatro tipos de provas, a saber, empirismo ingênuo e experimento crucial, situadas no nível pragmático, exemplo genérico e experiência mental referente ao nível intelectual. Para o desenvolvimento da parte experimental da pesquisa, fizemos uso da metodologia da Engenharia Didática descrita por Artigue. As atividades da sequência foram aplicadas em sete sessões, com duração média de duas horas e no contra turno escolar, com alunos do 8° ano do ensino fundamental de uma escola pública de Campo Grande/MS. Consideramos em nosso estudo, sete desses alunos por terem apresentado maior frequência nos encontros. Evidenciamos que as atividades experimentais, como também o uso do transferidor e o trabalho em duplas foram importantes elementos no processo de elaboração de conjecturas. Os alunos formulam enunciados de propriedades, mas apresentam dificuldades em relação à validação, de modo que a maioria das provas situa-se no nível pragmático, pois se fundamentam no transferidor e em experimentações, sem haver elementos voltados à generalização. Por outro lado, apresentam uma evolução referente ao envolvimento nas sessões, as argumentações realizadas e conseguiram estabelecer relações entre o que já foi trabalhado em sessões anteriores e as novas situações propostas. Desse modo, por diversas vezes percebemos a ocorrência da devolução e a vivência de situações adidáticas. No tocante às dificuldades dos alunos, evidenciamos a escrita em linguagem matemática, uma vez que os alunos, de modo geral, escreveram nos protocolos como/porque acreditavam que sua resposta estava correta.

ABSTRACT - This research aimed to analyze the production of conjectures and proofs of properties involving angles of polygons, from students of the 8th Grade of the Elementary School. Thereat, in the process of research, was observe arguments used by the students to validate the statements made, identify, analyze and classify strategies as well as difficulties and overruns presented by them. We developed a didactic sequence in which we seek to give priority aspects concerning the validation of geometric properties, specifically, properties of angles of polygons. The didactic sequence was composed of activities that involve some notions of angles supplementary, angles of one turn, angles opposite the vertex, parallel lines intersected by a transversal line, the sum of angles internal of a triangles, quadrilaterals and other polygons convex and the sum of angles external of polygons. For the preparation of activities and for analysis, we considered the Theory of Didactic Situations by Brousseau, so that the key notions that we considered was the devolution and the situations a-didactical. We also use the formulation of conjectures in the perspective by Ponte and the testing models established by Balacheff, a presenting four types of proves: naive empiricism and crucial experiment, located at the pragmatic level; and the generic example and thought experiment, for the intellectual level. For the development of the experimental part of the research, we used of the Didactic Engineering Methodology described by Artigue. The activities of the didactic sequence have been applied in seven sessions, with an average duration of two hours and in the reverse time of classes with students of the 8th Grade of one Public Elementary School, in Campo Grande / MS. We considered in our research a total of seven of these students because they appear more frequently in our meetings. We demonstraded that the experimental activities, as well as the use of the protractor and the work in pairs were important elements in the development of conjectures by the students. The students formulated the enunciation of properties, but a presented difficulties in the validation, so that most of the proves are in the pragmatic level, because are based on the use of protractor and experimentation, without having elements of generalization. On the other hand, the students presented a progress regarding involvement regarding in the sessions, at the arguments made and were able to establish relationships between what was worked in previous sessions and new situations proposed. Thus, many times we perceive the occurrence of the devolution and the experience of situations a-didactical. Regarding students difficulties, we demonstrate the writing mathematical, considering what the students written in the protocols, for example, how and why they believed that theirs answers were correct.